Chapitre 3
Modéle mathématique

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Avant d'examiner un système complet de transmission FM stéréo avec EMCS, on examinera la transmission FM seule et ensuite on y ajoutera les composantes de la stéréophonie et de l'EMCS. Pour finir, on donnera les représentations mathématiques de chaque élément clé.

3.1 Modèle simple d'une chaîne de transmission FM
En examinant la figure 3.1, on voit que trois composantes seulement situées entre le modulateur et le démodulateur suffisent pour représenter l'ensemble des éléments suivants: amplificateur de puissance et antenne au transmetteur, milieu de propagation, antenne réceptrice, étage RF, étages IF et amplificateur limiteur.

On pourrait ajouter en avant du modulateur et après le démodulateur, des éléments non linéaires pour rendre compte de la réalité, mais ceux-ci ne représenteraient pas des éléments distincts de la chaîne mais plutôt des imperfections du modulateur et du démodulateur.

On pourrait simplifier davantage le modèle précèdent pour les besoins des calculs de distorsion. Puisque le signal traversant ces trois éléments est modulé FM et à cause du filtrage qui suit, la distorsion causée par l'élément non linéaire aura un effet négligeable sur le signal modulant. On arrive donc au modèle de la figure 3.2. On se servira de ce modèle dans notre analyse avec des signaux aléatoires comme signal composite à cause de sa simplicité. Le filtre linéaire utilisé dans le canal principal sera appelé filtre de canal et peut être vu comme la réponse en fréquence du système de transmission FM mesurée entre la sortie du modulateur et l'entrée du démodulateur.

3.2 Modèle simple d'une chaîne de transmission FM stéréo avec canal EMCS
On ajoute au modèle précèdent, le modulateur stéréo, le modulateur EMCS, le démodulateur stéréo et le démodulateur EMCS. Ce modèle plus complet servira à l'analyse avec signaux harmoniques uniquement.

3.2.1 Modulateur stéréo
La structure générale du modulateur stéréo comprenant les éléments principaux est celle de la figure 3.3 . Les deux filtres audios servant à limiter la largeur des signaux audios à 15 kHz pourront être enlevés si on utilise des signaux harmoniques, pourvu que la fréquence de ceux-ci ne dépasse pas 15 kHz. Bien sûr, chaque composante est pondérée selon les normes, de telle sorte que la valeur crète du signal stéréo ne dépasse pas 80% de la déviation maximale de la porteuse principale (75 kHz), et le b pilote 10%. On note l'absence dans notre modèle, de filtres au niveau de la voie G-D et du pilote. Dans un transmetteur prévu uniquement pour la t stéréophonie, ce s filtres sont absents mais devraient être ajoutés lorsque l'on fait l'adjonction de l'EMCS. En pratique cela n'est pas toujours réalisé et contribue à la qualité médiocre de l'EMCS. En effet, ces filtres permettraient de filtrer toutes les harmoniques du pilote et celles présentes à la sortie du modulateur DSB. Mais comme notre modèle utilise des composantes idéales, de telles harmoniques n'existent pas, donc ces filtres peuvent être mis de côté. Par contre, dans la mesure où l'on chercherait à faire un modèle le plus prés possible de la réalité, il faudrait tenir compte de toutes non-linéarités dans le système et de ces deux filtres.

3.2.2 Modulateur EMCS
A la figure 3.4 se trouve représentées les parties principales d'un modulateur EMCS. Comme précédemment, le filtre audio peut être mis de côté. Par contre le filtre EMCS doit demeurer car il peut contribuer à une partie de la distorsion dans le système. Sa principale fonction est de limiter la largeur de bande du signal FM qui en théorie est infinie, afin de protéger les canaux adjacents. Il doit être suffisamment étroit et tranchant pour protéger les canaux adjacents mais pas trop étroit pour ne pas générer de la distorsion dans le canal EMCS.

3.2.3 Démodulateur stéréo
Les éléments principaux du démodulateur stéréo sont représentés à la figure 3.5 . Les deux filtres à l'entrée servent à séparer le canal mono et le canal G,D du signal composite. Même si on ne se sert pas du pilote dans notre démodulation stéréo, celui-ci est tout de même transmis car il contribue, par interférences avec les autres composantes, à la distorsion globale. On verra plus loin comment faire pour démoduler le signal modulé AM-DSB du canal G-D.

3.2.4 Démodulateur EMCS
Le démodulateur EMCS peut être examiné à la figure 3.6 . Ici les deux filtres sont des éléments très importants dans le processus de génération de la distorsion dans le canal EMCS. Le premier sert à séparer le signal EMCS du signal composite tout en rejetant les autres composantes. Le second sert à éliminer les harmoniques à l'extérieur de la bande audio EMCS afin d'augmenter le rapport signal à distorsion. Nous pourrons illustrer ce point plus loin dans l'analyse harmonique.

3.3 Représentation mathématique
3.3.1 Filtres
On peut distinguer trois types de filtres faisant partie de la chaîne FM. Les filtres audios, les filtres de voies G+D, G-D et EMCS, et le filtre de canal principal. Les filtres audios sont tous de type passe-bas et quand on les incluera dans le modèle, ils auront une caractéristique idéale puisque la caractéristique de ces filtres a peu d'effet sur la distorsion t~ en général. Les filtres de voie servent à délimiter l'espace de chaque voie dans la bande du signal composite. A part la voie monophonique qui nécessite un filtre passe-bas, les autres filtres de voie sont du type passe-bande. Pour les filtres de voie G+D et G,D, on utilisera un filtre idéal car on prévoit que ceux-ci auront peu d'effet sur la distorsion, étant donné qu'on a des signaux linéaires. Pour les filtres de voie EMCS, la forme du filtre a beaucoup plus d'importance et il serait désirable de pouvoir varier la caractéristique de ces filtres. Dans la section deux de l'analyse harmonique, on utilise des filtres EMCS de caractéristique t Butterworth à phase nulle. Par contre dans la section un, pour des raisons de simplicité, on utilise une caractéristique idéale puisqu'on a recours à des filtres passe-bande. Pour le filtre de canal, on utilise la représentation passe-bas d'un filtre passe-bande étant donné que le signal FM principal doit être en bande de base pour rendre possible l'usage de la FFT et pour simplifier au maximum les calculs. Les filtres sont tous représentés dans le domaine spectral par une réponse en fréquence possédant b en général une réponse de phase nulle pour simplifier les calculs. On a donc dans tous les cas, un des trois filtres suivants:

a) Filtre idéal: (passe-bas)	|H(f)| =	| 1 | | 0	|f| ≤ fc 0 ailleurs
b) Filtre idéal: (passe-bas)	|H(f)| =	| 1 | | 0	fo - fc ≤ |f| ≤ fo + fc 0 ailleurs

c) Filtre Butterworth: (passe-bas) 1 + (f/f )2n

|H(f)| = 1

Pour pouvoir obtenir la représentation passe-bas d'un filtre passe-bande, il faut que la largeur du filtre soit beaucoup plus petite que la fréquence de résonance. Si le filtre passe-bande a une réponse g(t), on obtient la représentation passe-bas par:

Ce qui revient à ramener à l'origine la portion de G(f) dans les fréquences positives et à normaliser. (voir la figure 3.7).

3.3.2 Modulateur et démodulateur DSB
Le modulateur DSB est une simple multiplication dans le temps par une porteuse cosinusoıdale tandis que le démodulateur est réalisé dans le domaine spectral par le décalage à l'origine des deux moitiés du spectre et de leur somme. (pour le démodulateur DSB, voir la figure 3.8)

3.3.3 Modulateur FM:
Le modèle le plus simple consiste en un intégrateur suivi d'un modulateur de phase tel qu'illustré à la figure 3.9

Il est bien certain que le signal modulant l(t) doit être une fonction réelle si on veut que s(t) soit un signal FM. Par contre la sortie du modulateur FM peut-être réel ou complexe dépendant de la fonction mathématique utilisée pour le modulateur PM dans le système.

1- - s(t) = cos(w_ot + (t))

2- - s(t) = exp j(w_ot + (t))

On utilisera la première forme pour le modulateur EMCS car le signal EMCS doit être réel pour pouvoir être injecté dans le signal composite et la deuxième forme sera utile surtout pour le modulateur principal. La forme complexe est nécessaire pour faciliter la démodulation du canal principal. De plus cette forme permet de nous débarrasser de la porteuse principale qui doit être supprimée si on veut utiliser la FFT.

Donc pour le canal principal on utilisera cette forme:

Ceci est valable à la condition que la largeur de bande du spectre du signal modulant soit beaucoup plus faible que la fréquence de la porteuse. Pour le modulateur principal, ce la ne pose pas de problèmes puisque la porteuse est à très haute fréquence. Pour le modulateur EMCS, un filtre audio est utilisé pour limiter la largeur de bande du signal modulant, donc la condition sera en pratique toujours respectée.

3.3.4 Démodulateur FM :
Ici plusieurs méthodes peuvent être utilisées mais on a retenu celle t de la figure 3.10 . Le démodulateur FM est constitué d'un démodulateur de phase suivi d'un dérivateur. On réalise la démodulation de phase à l'aide du logarithme complexe.

Cette méthode est utilisable à condition d'avoir la représentation; complexe du signal à l'entrée. Ceci est toujours possible même avec la représentation réelle.

En effet:

Il suffit donc, dans le domaine spectral, de prendre la moitié du spectre dans les fréquences positives et la ramener à l'origine.

Soulignons les problèmes que peut apporter l'emploi d'un démodulateur de phase. Comme on le sait, la sortie d'un démodulateur de phase est déterminée seulement entre ±π radians. Comme en stéréophonie FM on dépasse largement cette valeur avec une déviation de fréquence de 75 Khz, la sortie du démodulateur de phase sera le signal désiré modulo 2π .(voir la figure 3.11). Il faut donc trouver un moyen pour reconstituer le signal original. Ce problème ne se pose en fait que pour le cas de l'analyse avec signaux harmoniques.

La méthode est la suivante:

1~ On détecte les sauts brusques en dérivant la phase puis en comparant le résultat avec un seuil
2 - On calcule un indice k pour chaque portion du signal entre deux sauts
3- -On additionne la valeur 2kπ à la portion correspondante

Ceci est possible à condition que la phase originale ne possède pas de discontinuités plus grandes que 2π ie la distorsion de la phase doit demeurer faible. Cela implique que pour un échantillonnage donné, la différence entre deux échantillons successifs doit toujours être inférieure au seuil choisi, à la limite il pourrait être égal à 2π .

Finalement on a le modèle complet tel qu'illustré à la figure 3.13 .

Ce dernier modèle, soulignons le, servira à l'analyse avec signaux harmoniques tandis que le premier modèle de la figure 3.12 constitué seulement du canal FM sera utilisé pour l'analyse avec signaux aléatoires. Il est bien certain que le modèle complet nous permettra d'aller beaucoup plus loin dans l'analyse.